在胜利纪念日前夕，让我们回顾那些数学难题，这些问题的解决促成了对法西斯主义的胜利。

在胜利纪念日前夕，让我们回顾那些数学难题，这些问题的解决促成了对法西斯主义的胜利。

破解恩尼格码

英国情报部门设定的关键任务之一是拦截和解密德军发送的信息。公平地说，德国密码确实很优秀，但被一群英国科学家破解了。以下是这个故事的一些细节。

艾伦·图灵（1912-1954）

为了传输和接收信息，德军使用恩尼格码密码机，外观类似打字机。在伦敦附近的布拉奇公园

，建立了一个秘密实验室来破译密码，聚集了一组密码学专家。其中最著名的是英国数学家艾伦·图灵 ，他负责与密码学分析相关的理论部分工作。

但他们是如何破解如此复杂的密码的，因为德国人每晚都在更改密码？密码机中发现了一个缺陷，即每个字母从未在通配符密码中保持原位，即 A 从未被替换为 A，依此类推。

研究团队拥有“ 恩尼格码 ”机器样本，并基于其设计了一种解密机“炸弹”，该装置重复数十台连接在一起的“恩尼格码”机器。

德国人当天发送的第一条信息是天气预报，这也是线索之一，因为已知当天的天气预报以及该信息中将使用哪些关键词。解开密码大约花了20分钟，这在白天很重要。

二战结束后，丘吉尔出于保密原因下令销毁所有研究项目的物质痕迹，包括“炸弹”。但后来，英国历史爱好者重新制作了这辆车，根据图纸，它被收藏在布莱奇公园博物馆。

炸弹解码器背景中的谜团（重建）

对这个故事感兴趣的人可以观看纪录片《破解纳粹密码的人》和《艾伦·图灵》

。《Ahead of Time》（可在 YouTube 观看），以及电影《谜码》（2001 年）和《模仿游戏》（2014 年）。

德国坦克问题

二战期间，德国坦克（如豹式坦克）的生产通过统计方法精确估算，后来事实证明，统计估计远比情报数据有效。

让我们简要介绍统计估计方法的核心。

事实证明，所有生产的坦克都有生产月份和序列号，每个月的编号又以一个开始。如果坦克在战争中被击毁，则其编号、序列号和制造月份将被知晓。

事实证明，只有两个指标对统计分析有用 ——数字数量和最大值。

你可以很容易地解决这样的概率问题。如果从一组从 1 到 n 的数字随机抽样且不重复到这些数字，那么该样本中最大值为 m 的概率为

。

例如，“36 人中 5 人”彩票中最大号码为 25 的概率为

。这很容易解释。

从 n 中可以选择

共 k 个数字。我们数数最大 k 个数为 m（其中 k ≤ m ≤ n）的次数。在这种情况下，必须固定在位置 m 的 k，剩余的 k-1 数可以取 1 到 m-1 的任意值，因此期望的路径数等于 ，期望的概率为

-

。

但我们还是回到估计坦克产量的问题。不幸的是，这与我们考虑的问题相反 ： 我们学会了构造一个已知 n 的概率分布 m，但我们需要做相反的事。

事实证明，这种概率分布也可以被构造，贝叶斯公式便帮

了大忙。

了解更多关于贝叶斯的信息。

伦敦爆炸事件

卡尔·皮尔森（1857–1936）

1944年6月至10月，纳粹德国向英国发射了9500枚自行飞弹，其中2400枚落在伦敦。

英国人非常担心，想知道炸弹是随机落在城市上还是击中了目标？为了帮助回答这个问题，杰出的英国数学家和统计学家卡尔（查尔斯）·皮尔逊开发了一种名为皮尔逊检验或卡方检验

的方法，能够提供帮助。

城市领土被有条件划分为24×24=576个平方地块，收集并处理了炸弹落地数量的数据。

如果轰炸是混乱进行的，命中次数的统计数据必须与泊松分布一致（该分布将在后续期刊中讨论）。

结果显示，根据皮尔逊准则，轰炸数据与泊松分布一致，因此得出轰炸是混沌的结论。

血液检测问题

著名美国数学家和经济学家罗伯特·多夫曼在二战期间服役于美国空军。

新兵通过医学委员会后，必须进行瓦瑟曼测试

的血液检测。这是一种定性检测，可以判断血液中存在某些抗体是否生病。所有征召者都需要大量测试药物和时间进行测试。

罗伯特·多夫曼（1916-2002）

随后，多夫曼提出了一个简单而巧妙的想法，可以显著减少检测次数。

由于瓦瑟曼检测阳性罕见，必须混合多名征召员（k）的血液样本并进行混合检测。如果检测结果为阴性，则意味着每位考生的结果也是阴性，因此只进行了一次检测而非 k 次，因此保留了 k-1 检测。

如果检测呈阳性，K 的一名或多名成员就生病了，然后他们会接受单独检测，这意味着多做了一次检测。

因此，问题在于如何选择最优的考试人数，因为一方面，k 增加时保存的测试次数增加;另一方面，阳性结果的概率增加（因此需要额外测试一次）。

我们找出 k 的最优值。设 p 为某一征召兵中阳性测试结果的概率（该值可由已研究的征召兵总数计算出的频率轻松估计）。

然后对 k 个样本的混合检验会得到一个概率为 （1-p）k 的阴性结果，以额外概率得到一个阳性结果，平均而言你需要 （1-p）k +（k+1）（1-（1-p）k）=（k+1）-k（1-p）k），在一个写字中为

。

我们将 k 替换为 x 的实值，并寻找函数

的最大点。

最小 H（x） 在 x0 处达到，其中 x0 是方程 H'（x） = 0 的较小根，即

。

如果 p 很小（在真实情况下确实很小），那么通过将（1-p）x≈1-px， ln（1-p） ≈-p 来简化，我们得到方程

，其

根是，则

。

例如，如果 p=0.01，我们

取，H（x） ≈ 0.2。这意味着检测次数将减少 5 倍！

S.I. 多岑科 ，基辅塔拉斯·舍甫琴科国立大学信息技术学院物理与数学科学候选人副教授