质数和合数是数学中的两个重要概念。在数学中，质数是指只能被1和自身整除的正整数，而合数则是指除了1和自身以外还能被其他正整数整除的正整数。本文将介绍质数和合数的定义、性质以及一些常见的质数和合数。

首先，我们来看质数的定义。质数是指只能被1和自身整除的正整数。例如，2、3、5、7、11、13等都是质数。而像4、6、8、9、10、12等都不是质数，因为它们可以被其他正整数整除。

质数有一些特殊的性质。首先，任何一个大于1的正整数都可以唯一地分解成若干个质数的积。这就是著名的质因数分解定理。例如，24可以分解成2×2×2×3，而30可以分解成2×3×5。其次，质数的个数是无限的。这个结论可以通过反证法证明：假设质数的个数是有限的，那么我们可以将所有的质数列出来，然后将它们的积加1，得到的结果一定不是质数，因为它可以被某个质数整除。但是这个质数不在我们列出的质数中，与假设矛盾，因此质数的个数是无限的。

接下来，我们来看合数的定义。合数是指除了1和自身以外还能被其他正整数整除的正整数。例如，4、6、8、9、10、12等都是合数。合数也有一些特殊的性质。首先，任何一个大于1的正整数都可以唯一地分解成若干个质数和一个大于1的合数的积。例如，24可以分解成2×2×2×3，而30可以分解成2×3×5。其次，合数的个数是有限的。这个结论可以通过归纳法证明：显然2是最小的合数，假设小于等于n的正整数中合数的个数是有限的，那么n+1要么是质数，要么可以分解成两个小于等于n的正整数的积，因此小于等于n+1的正整数中合数的个数也是有限的。

最后，我们来看一些常见的质数和合数。前10个质数分别是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。前10个合数分别是4、6、8、9、10、12、14、15、16、18。其中，4和9是平方数，6和10是十进制下的完全数，8和16是2的幂，而12和18是2和3的倍数。

总之，质数和合数是数学中的两个重要概念。质数是指只能被1和自身整除的正整数，而合数则是指除了1和自身以外还能被其他正整数整除的正整数。质数和合数都有一些特殊的性质，而且它们的个数都是无限的或有限的。在实际应用中，质数和合数也有着广泛的应用，例如在密码学、编码理论、图论等领域。