保罗·哈尔莫斯，他是杰出的匈牙利裔美国数学家。作为冯·诺依曼的助手和鞅理论提出者约瑟夫·杜布的学生，他在逻辑、概率和统计、泛函分析等领域都做出了基础性的工作。

同时他还是优秀的数学教育家和作者，曾在美国芝加哥大学和普林斯顿大学等多所知名学府任教，更因为多部数学名著而享誉全球。他是美国数学会（AMS）的“斯蒂尔奖”（Leroy P. Steele Prize）得主。2012 年，美国数学协会（MAA）的一项重要写作荣誉更名为“保罗·哈尔莫斯 - 莱斯特·福特奖”。

他的著作《我想当数学家》的中文版于1999年首次在国内出版，时隔26年终于再版！

在这本被誉为20世纪“数学社会史”的传记中，哈尔莫斯讲述了自己与数学相伴的一生，以及同时代数学家们的种种趣闻。他亲自拍摄或收集了众多数学家的照片，让读者对这一群体产生全面而感性的认识。哈尔莫斯以数学家的角度深入讨论了该如何学习数学、如何做研究、如何营造良好的学习和学术环境，同时，他讲述了自己对数学的理解，并以亲身经历告诉读者：什么是真正的数学家，怎样才能成为一名数学家。

来源 | 《我想当数学家》

作者 | [美]保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos）

译者 | 张十铭

摘自 | 读·写·算

01

研究

你坐在这儿，也许是一名本科生，面前是一本打开的微积分教材；也许是一名准备学位论文开题的研究生，那堆参考书中至少要有一本你精通前十页的内容；也许是一名刚刚发表论文的科研型数学家（已成名，或即将成名）——现在，你该怎么办？你如何展开研究，如何穿透黑暗，如何获取新知？我只能告诉你我所做的一切，但是我猜想，同样的方法对每个人都适用。

我以前也经常这么讲，但怎么强调也不过分：主动研究。不要只是读它，要跟它斗争！提出你自己的问题，寻找你自己的范例，发现你自己的证明。这个假设是必要的吗？反过来是对的吗？经典的特例情况下会发生什么？退化情况呢？证明中在哪儿使用这个假设了？

我在阅读时采用的另一种保持主动的方法是改变符号。倘若在其他方面无能为力，至少我可以选择改换（改进？）字母。我的一些朋友认为这很傻，但这对我很有效。当我在一次有安布罗斯和杜布参加的小型讨论班上，报告斯通的书的第 7 章内容（关于重数理论，一个复杂的问题）时，有听众取笑我改换字母，但我觉得，在试图组织和系统化材料时，这能帮助我集中注意力。

我觉得，如果我对一座建筑物钦佩得目瞪口呆，我就必须专注于砖块和砂浆，那么细节之处便不太可能逃过我的眼睛。我选择自己满意的字母（和其他符号），而不是沿用作者选择的；更重要的是，我在整个主题中始终选择相同的符号，统一我正在研究的部分文献的符号。

改变符号是一种集中注意力的手段，就像在课堂上做笔记一样，但这也表明，不同作者在方法上有差异，借此可以指出一些具有数学深度的东西，认同的读者会对此点头——是的，是的，这一定是我昨天在另一本书中读到的同一条定理。

长远来看，改变我所读的每一本书中的符号，使之与我自己的习惯一致，无疑可以节省我的时间。如果我能把这件事做到极致，就不用浪费时间把每一篇关于同一主题的新论文都纳入符号方案中，因为我已经彻底思考过这一点，现在可以继续做更重要的事情。

最后还有一点值得一提，这在心理上对我会有很大帮助：我不断把符号改为自己的符号，会让我觉得自己富有创造性——微小，但不是没有。甚至在我明白这是怎么回事儿之前，在我能够推广、改进或应用它之前，我就已经开始行动，着手做一些事情了。

学习一门语言不同于学习一门数学课程，一个需要养成习惯，另一个则需要理解结构。这种差异隐含一些重要的意义。如果从课本上学习一门语言，你不妨把书从头到尾看一遍，做一下书里的所有练习题，重要的是，要不断练习使用这种语言。然而，假设你想学习群论，也是翻开书的第一页，按顺序阅读和做所有的题，直到最后一页，这就不是个好主意了——这是个歪点子。

书中的材料就是那样编排的，所以线性阅读在逻辑上合乎情理。但可以确定的是，我们读者都是人，我们彼此不同，也不同于作者，每个人都可能发现，有些事对其他人来说容易，对自己却困难。

我的建议是先阅读，直到你学到一个新定义，然后停下来，尽力想一些示例和非例；或者直到看到一个新定理，然后停下来，尽力理解它，试着自己证明它；最重要的是，当你遇到一个障碍、一个难解的段落、一个无法解决的问题，可以直接跳过去，向前推进，尝试下一个问题，翻到下一页，阅读下一章，甚至放下这本书，开启一本新的书。书籍可能是按照线性结构排列的，但我们的大脑不是。

你的配偶相信你说的每一句话吗？我的另一半并不总是接受我的专业意见。有一次，我的妻子想读些数学书，我给了她我刚刚提过的建议（跳过不明白的部分），她看起来持怀疑态度。

然而第二天，她兴奋地给我看一本相关的书的序言：“瞧，你是对的，他们和你说得一样。”果不其然，序言中说读者不能“期望在第一次阅读时就能理解这本书的所有部分。他可以自由地跳过复杂的部分，以后再读。通常一个论证会在随后的备注中加以说明”。

我妻子没有注意到的是，确切地说，“他们”并不是一个独立的旁证。“他们”是一个编写小组，“他们”的名字列在扉页上，而我也是其中的成员，“他们”说的话实际上就是我写的。

每当我思索自己是如何通过眼睛学习数学的，我可能也会沉思片刻如何通过耳朵学习。课堂授课是学习东西的一种标准方式——最糟糕的方式之一。学生过于被动，这就是问题所在。规范推荐：做笔记。反方会反驳：是的，可以肯定，做笔记是一项活动，而且，如果你做了笔记，你在日后会有可靠的参考材料，但你可能会错过课堂上展现的精彩细节，忽略主要部分、格式塔——你忙于潦草记录，没办法专心听讲。正方会反驳：如果你不做笔记，你日后就不记得当时讲了什么，按什么顺序讲的；而且如果不记笔记，你上课时注意力很可能会时而减弱，做上白日梦，甚至会打瞌睡，谁知道呢。

无论是赞成还是反对做笔记，理由都对。我自己的解决办法是来个折中：我只做个非常粗略的笔记，然后，只要有可能，就尽快改写出更详细的笔记。我说的“非常粗略的笔记”是指一分钟记一两个单词，加上一两个关键的公式和一两幅关键的图——刚好够确定内容的次序。顺便说一句，这么做还能让我保持清醒和警觉。我说的“改写”是指详细到可以给一个不在现场的朋友看，有望让他理解他错过的内容。

一次性的演讲，比如研讨会报告，有时“名声”不怎么好，可能是因为它们通常效果都不好。这对学生有用吗？或者说，对想学点儿东西的成年人有用吗？某些东西可能是具体的（我需要更多地了解黎曼曲面的拓扑结构和全纯结构之间的关系），或者，有人仅仅在良知上有一种模糊但长期存在的烦恼（我的数学教育太狭隘了，我需要知道其他人在做什么，为什么这么做）。

我自己的回答是，研讨会报告对想要学习的人（无论是出于具体的或模糊的需求）是有用的，即使是一些非常糟糕的报告。我力劝我的学生和同事支持、参加这类活动。

为什么这么做？部分原因是数学是一个整体，各环节紧紧相扣，互相影响。我们所学的一切将改变我们所知道的一切，并将帮助我们以后学习更多。好的研讨会报告，动机良好，中心主题鲜明，条理清晰，解释清楚，具有显而易见的益处。但即便是糟糕的报告也有益处。在这一点上，我最喜欢的例证是一次我听到的关于拓扑学的糟糕报告。

我不理解那些定义、定理或证明，但我听到了“稳定同伦群”，几分钟后又听到“伯努利（Bernoulli）数”。我对什么是稳定同伦群只有最模糊的概念，对伯努利数也同样模糊，但正是得益于那次古怪、惊讶、骇人的倾听体验（从那时起，这对有经验的人来说已是司空见惯的事了），我的知识增长了，我理解数学（尤其是理解日后的研讨会报告）的能力变得更强了。如果能在 5 分钟内得知亚纯函数的零点理论和质数的分布有很大关系，浪费其余的 55 分钟是值得的。

有人认为讨论班上的报告是不同的，实则不然。大家通常认为，参加讨论班的听众都是专家，他们知道截至前天相关领域已被证明的一切，他们来这里，只是为了看看最后的细节。这种想法是错误的。讨论班上的报告，好的就是精彩，差的就是乏味，和研讨会的报告没有区别。

如果把研讨会视为讨论班，那么报告人在专业方面的“不理解”就会变为概念方面的“见解”，这种想法不是实事求是，是错误的。在场的“专家”是与报告人从事类似（但是记住，“类似”几乎从来不是“相同”）问题研究的同行，或是正努力钻研晦涩难懂的技术的研究生，他们出现迷失、焦躁和厌烦情绪，只比研讨会上所谓的“一般”观众晚 30 秒。在我看来，好的讨论班报告和好的研讨会报告是可以互换的，而且即使是不好的报告也值得一听。

最好的一类讨论班有两名成员，其间可以用五分钟持续讨论一个问题，接着，提供不完整的答案和参考文献；这也可以是一种持续几十年的坚定的合作纽带，两者性质兼有。我坚定地支持数学方面的个人交流，这也是我支持研讨会和讨论班的原因之一。

我参加过的最好的讨论班是由艾伦·希尔兹（Allen Shields）和我组成的。我们每周都会在一个下午见面，大约两小时。我们不会为会面做准备，当然也没有互相讲课。我们对类似的事物感兴趣，彼此相处得很好，我们都喜欢解释自己的想法，对方是富有智慧的倾听者，彼此能产生共鸣。

我们会交换这周听到的初等数学谜题，在课堂上被问到的疯狂问题，脑海里突然间闪现的不成熟问题，上周解决问题时的模糊想法，在其他讨论班上听到的启发性评论。我们会兴奋地大叫，或一同茫然、沉默地凝视着黑板。

无论做什么，我们都在那一年的讨论班上从对方身上学到了很多东西，而且乐在其中。我们的会谈最终并未促成实质性合作，比如联合发表论文，但我们对此并不在意。通过研讨，我们变得……聪明了吗？……是的，更聪明了，也许吧。